Bài tập 7, § 3

Cho $n\in \mathbf{N}$. Ta ký hiệu bởi $\widetilde{\boldsymbol{\gamma }}$ biểu diễn tuyến tính của $\mathbf{R}^n$ trên không gian các hàm từ $\mathbf{R}^n$ vào $\mathbf{C}$ được xác định bởi

với mọi $h\in \mathbf{R}^n$ và mọi hàm $f:\mathbf{R}^n\rightarrow \mathbf{C}$.

a) Với mọi $h\in \mathbf{R}^n$, ánh xạ $\widetilde{\boldsymbol{\gamma }}(h)$ xác định, bằng cách chuyển qua các không gian con, một tự đẳng cấu không gian lồi địa phương của $\mathscr{D}(\mathbf{R}^n)$, lại được ký hiệu là $\widetilde{\boldsymbol{\gamma }}(h)$.

b) Ta ký hiệu bởi $\boldsymbol{\gamma }$ tự đẳng cấu chuyển vị của $\mathscr{D}'(\mathbf{R}^n)$ của $\widetilde{\boldsymbol{\gamma }}(-h)$. Nếu $f\in \mathscr{D}(\mathbf{R}^n)$, thì $\boldsymbol{\gamma }(h)f=\widetilde{\boldsymbol{\gamma }}(h)f$ với mọi $h\in \mathbf{R}^n$.

c) Ánh xạ $h\mapsto \boldsymbol{\gamma }(h)$ là một biểu diễn tuyến tính của $\mathbf{R}^n$ trong $\mathscr{D}'(\mathbf{R}^n)$.

d) Với mọi $h\in \mathbf{R}^n$ và mọi $\alpha \in \mathbf{N}^n$, ta có $\partial^{\alpha}\circ \boldsymbol{\gamma }(h) =\boldsymbol{\gamma }(h)\circ \partial^{\alpha}$.

e) Cho $i$ là một số nguyên sao cho $1\leqslant i\leqslant n$ và $e_i$ là vectơ thứ $i^e$ của cơ sở chính tắc của $\mathbf{R}^n$. Hãy chứng minh rằng, với mọi phân phối $f\in \mathscr{D}'(\mathbf{R}^n)$, ta có

lim$_{hh\rightarrow\not=00}\frac{1}{h}(\boldsymbol{\gamma }(he_i)f-f) =\partial_if$ trong $\mathscr{D}'(\mathbf{R}^n)$ được trang bị tôpô yếu.