Exercice 11, § 4

On identifie l’espace $\mathscr{D}(]0,1[)$ à un sous-espace de $L^2([0,1])$. Soit $u$ l’opérateur partiel sur $L^2([0,1])$ de domaine $\mathscr{D}(]0,1[)$ tel que $u(f) =i^{-1}f'$ pour toute fonction $f\in \mathscr{D}(]0,1[)$.

a) L’opérateur partiel $u$ est fermable et $\overline{u}$ est symétrique.

b) Les espaces propres de $\overline{u}$ relatifs à $i$ et à $-i$ ne sont pas orthogonaux.