Exercice 1, § 5

Soient E un espace hilbertien et $\mathscr{P}(E)\subset \mathscr{L}(E)$ l’ensemble des projections orthogonales dans E. Soit S une partie universellement mesurable de $\mathbf{C}$. On note $\mathscr{T}(S)$ l’ensemble des parties universellement mesurables T de $\mathbf{C}$ telles que $T\subset S$. Une mesure sur S à valeurs dans les projections de E est une application $\varpi$ de $\mathscr{T}(S)$ dans $\mathscr{P}(E)$ telle que

(i) On a $\varpi (\emptyset ) = 0$ et $\varpi (S) = 1_E$.

(ii) Si $(T_n)$ est une suite d’ensembles deux à deux disjoints dans $\mathscr{T}$ (S), et si T est la réunion des ensembles $T_n$, alors

dans l’espace $\mathscr{L}(E)$ muni de la topologie de la convergence simple.

Pour tout opérateur partiel normal $u$ sur E de spectre égal à S, et pour $T\in \mathscr{T}$ (S), on note $p_{T,u}$ le projecteur spectral de $u$ défini par T.

L’application qui à un opérateur partiel normal $u$ sur E de spectre S associe l’application $T\mapsto p_{T,u}$ est une bijection entre l’ensemble des opérateurs partiels normaux de spectre S et l’ensemble des mesures sur S à valeurs dans les projections de E.