Bài tập 1, § 5

Cho E là một không gian Hilbert và $\mathscr{P}(E)\subset \mathscr{L}(E)$ là tập hợp các phép chiếu trực giao trong E. Cho S là một tập con đo được phổ dụng của $\mathbf{C}$. Ta ký hiệu bởi $\mathscr{T}(S)$ tập hợp các tập con đo được phổ dụng T của $\mathbf{C}$ sao cho $T\subset S$. Một độ đo trên S nhận giá trị trong các phép chiếu của E là một ánh xạ $\varpi$ từ $\mathscr{T}(S)$ vào $\mathscr{P}(E)$ sao cho

(i) Ta có $\varpi (\emptyset ) = 0$ và $\varpi (S) = 1_E$.

(ii) Nếu $(T_n)$ là một dãy các tập hợp từng đôi một rời nhau trong $\mathscr{T}$ (S), và nếu T là hợp của các tập hợp $T_n$, thì

trong không gian $\mathscr{L}(E)$ được trang bị tôpô hội tụ đơn.

Với mọi toán tử riêng phần chuẩn tắc $u$ trên E có phổ bằng S, và với $T\in \mathscr{T}$ (S), ta ký hiệu bởi $p_{T,u}$ phép chiếu phổ của $u$ được xác định bởi T.

Ánh xạ gán cho một toán tử riêng phần chuẩn tắc $u$ trên E có phổ S ánh xạ $T\mapsto p_{T,u}$ là một song ánh giữa tập hợp các toán tử riêng phần chuẩn tắc có phổ S và tập hợp các độ đo trên S nhận giá trị trong các phép chiếu của E.