Exercice 10, § 5

Soient E un espace hilbertien complexe et A une sous-algèbre unifère auto-adjointe de $\mathscr{L}(E)$ qui est fermée pour la topologie de la convergence simple. (Une telle algèbre est appelée une algèbre de von Neumann.)

a) Il existe une partie X de $\mathscr{L}(E)$ telle que A coïncide avec le commutant de X dans $\mathscr{L}(E)$. (Utiliser l’exercice 24 de IV, p. 326.) Réciproquement, pour toute partie auto-adjointe de X, le commutant de X dans $\mathscr{L}(E)$ est une sous-algèbre unifère auto-adjointe fermée pour la topologie de la convergence simple.

b) Soit $u\in A$ et soit $(j,|u|)$ la décomposition polaire de $u$ (définition 4 de I, p. 140). Les éléments $j$ et $u$ appartiennent à A.

c) Soit $u\in A$ tel que $u$ est normal. Pour toute fonction $f\in \mathscr{L}_u^{\infty}$(Sp($u$)), l’endomorphisme $f(u)$ appartient à A.

d) Soit $u\in A$. L’élément $u$ est un diviseur de 0 à droite (resp. à gauche) dans A (cf. A, I, p. 93) si et seulement si l’image de $u$ n’est pas dense dans E (resp. si $u$ n’est pas injectif). e) Notons F l’ensemble des opérateurs partiels sur E dont les éléments sont les opérateurs partiels fermés à domaine dense $u$ tels que, pour tout $x$ dans X, l’opérateur partiel $x\circ u$ est une réduction de l’opérateur partiel $u\circ x$. Pour tout $u$ dans F et $v$ dans A, les opérateurs partiels $u^*,u+v,v\circ u$ et $u\circ v$ appartiennent à F.

f) Soit $u\in F$ et soit $(j,|u|)$ la décomposition polaire de $u$ (définition 7 de IV, p. 290). L’opérateur partiel $|u|$ appartient à F et $j$ appartient à A.

g) Soit $u\in F$ tel que $u$ est normal. Pour toute fonction $f\in \mathscr{L}_u$(Sp($u$)), l’opérateur partiel $f(u)$ appartient à F ; si $f$ est bornée, alors $f(u)$ appartient à A.

h) Soit $u\in A$ injectif dont l’image est dense dans E. L’opérateur partiel $u^{-1}$ appartient à F.

i) Pour tout $u$ dans F, il existe des éléments $u_1$ et $u_2$ de A tels que $u_2$ est injectif et d’image dense et $u=u_1u^{-1}_2$. (Se ramener d’abord à $u$ auto-adjoint et positif, puis appliquer le calcul fonctionnel universellement mesurable au fonctions $f_1:t\mapsto t\varphi (t) +\psi (t)$ et $f_2:t\mapsto \varphi (t) +t^{-1}\psi (t)$, où $\varphi$ et $\psi$ sont les fonctions caractéristiques des intervalles $[0,1[$ et $[1,+\infty [$ respectivement.)

j) On suppose que tout élément injectif et d’image dense de A est surjectif. L’algèbre A vérifie alors la condition de Ore : quels que soient $u$ et $s$ dans A, si $s$ n’est pas un diviseur de 0 (ni à droite, ni à gauche), alors il existe $u'$ et $s'$ dans A tels que $s'$ ne soit pas un diviseur de 0 et $us'=su'$.

k) La conclusion de la question précédente n’est pas toujours valide. (Considérer $A =\mathscr{L}(E).$)