Bài tập 10, § 5

Cho E là một không gian Hilbert phức và A là một đại số con có đơn vị tự liên hợp của $\mathscr{L}(E)$ đóng đối với tôpô hội tụ đơn giản. (Một đại số như vậy được gọi là một đại số von Neumann.)

a) Tồn tại một tập con X của $\mathscr{L}(E)$ sao cho A trùng với hoán tập của X trong $\mathscr{L}(E)$. (Sử dụng bài tập 24 của IV, p. 326.) Ngược lại, với mọi tập con tự liên hợp X, hoán tập của X trong $\mathscr{L}(E)$ là một đại số con tự liên hợp có đơn vị đóng đối với tôpô hội tụ đơn giản.

b) Cho $u\in A$ và cho $(j,|u|)$ là phân tích cực của $u$ (định nghĩa 4 của I, p. 140). Các phần tử $j$ và $u$ thuộc A.

c) Cho $u\in A$ sao cho $u$ là chuẩn. Với mọi hàm $f\in \mathscr{L}_u^{\infty}$(Sp($u$)), tự đồng cấu $f(u)$ thuộc A.

d) Cho $u\in A$. Phần tử $u$ là một ước của 0 bên phải (tương ứng bên trái) trong A (xem A, I, p. 93) khi và chỉ khi ảnh của $u$ không trù mật trong E (tương ứng khi $u$ không đơn ánh).

e) Gọi F là tập hợp các toán tử bộ phận trên E mà các phần tử của nó là các toán tử bộ phận đóng có miền xác định trù mật $u$ sao cho, với mọi $x$ trong X, toán tử bộ phận $x\circ u$ là một hạn chế của toán tử bộ phận $u\circ x$. Với mọi $u$ trong F và $v$ trong A, các toán tử bộ phận $u^*,u+v,v\circ u$ và $u\circ v$ thuộc F.

f) Cho $u\in F$ và cho $(j,|u|)$ là phân tích cực của $u$ (định nghĩa 7 của IV, p. 290). Toán tử bộ phận $|u|$ thuộc F và $j$ thuộc A.

g) Cho $u\in F$ sao cho $u$ là chuẩn. Với mọi hàm $f\in \mathscr{L}_u$(Sp($u$)), toán tử bộ phận $f(u)$ thuộc F; nếu $f$ bị chặn, thì $f(u)$ thuộc A.

h) Cho $u\in A$ là đơn ánh và có ảnh trù mật trong E. Toán tử bộ phận $u^{-1}$ thuộc F.

i) Với mọi $u$ trong F, tồn tại các phần tử $u_1$ và $u_2$ của A sao cho $u_2$ là đơn ánh và có ảnh trù mật và $u=u_1u^{-1}_2$. (Trước hết rút gọn về trường hợp $u$ tự liên hợp và dương, sau đó áp dụng phép tính hàm đo được phổ quát cho các hàm $f_1:t\mapsto t\varphi (t) +\psi (t)$ và $f_2:t\mapsto \varphi (t) +t^{-1}\psi (t)$, trong đó $\varphi$ và $\psi$ là các hàm đặc trưng của các khoảng $[0,1[$ và $[1,+\infty [$ tương ứng.)

j) Giả sử rằng mọi phần tử đơn ánh của A có ảnh trù mật đều là toàn ánh. Khi đó đại số A thỏa mãn điều kiện Ore: bất kể $u$ và $s$ trong A là gì, nếu $s$ không là một ước của 0 (cả bên phải lẫn bên trái), thì tồn tại $u'$ và $s'$ trong A sao cho $s'$ không là một ước của 0 và $us'=su'$.

k) Kết luận của bài tập trước không phải lúc nào cũng đúng. (Xét $A =\mathscr{L}(E).$)