Exercice 11, § 5

a) Soit $q$ une forme positive partielle sur un espace hilbertien complexe E. Alors $q$ est fermée si et seulement si pour toute suite $(x_n)$ d’éléments de dom($q$) qui converge vers $x$ dans E et vérifie

lim$_{n,m\rightarrow+\infty}q(x_n-x_m, x_n-x_m) = 0$,

on a $x\in$ dom($q$) et $q(x_n-x, x_n-x)\rightarrow 0$.

b) Soit $E = L^2(\mathbf{R}, \mu)$, où $\mu$ est la mesure de Lebesgue. La forme hermitienne positive $q$ de domaine $\mathscr{D}(\mathbf{R})$ définie par $q(\varphi_1, \varphi_2) =\overline{\varphi_1(0)}\varphi_2(0)$ n’est pas fermée, et il n’existe pas de forme positive partielle fermée prolongeant $q$.