Bài tập 11, § 5

a) Cho $q$ là một dạng dương từng phần trên một không gian Hilbert phức E. Khi đó $q$ là đóng khi và chỉ khi với mọi dãy $(x_n)$ gồm các phần tử của dom($q$) hội tụ đến $x$ trong E và thỏa mãn

lim$_{n,m\rightarrow+\infty}q(x_n-x_m, x_n-x_m) = 0$,

ta có $x\in$ dom($q$) và $q(x_n-x, x_n-x)\rightarrow 0$.

b) Cho $E = L^2(\mathbf{R}, \mu)$, trong đó $\mu$ là độ đo Lebesgue. Dạng Hermit dương $q$ có miền xác định $\mathscr{D}(\mathbf{R})$ được xác định bởi $q(\varphi_1, \varphi_2) =\overline{\varphi_1(0)}\varphi_2(0)$ không là đóng, và không tồn tại dạng dương từng phần đóng nào mở rộng $q$.