Exercice 12, § 5

On munit $\mathbf{R}$ de la mesure de Lebesgue. Soit E le sous-espace fermé de $L^2(\mathbf{R})$ formé des $f\in L^2(\mathbf{R})$ tels que $f(-x) =f(x)$ pour presque tout $x\in \mathbf{R}$. Soit $\mathscr{D}_+(\mathbf{R})$ l’espace des fonctions test sur $\mathbf{R}$ telles que $f(x) =f(-x)$ pour tout $x\in \mathbf{R}$. On identifie $\mathscr{D}_+(\mathbf{R})$ à un sous-espace de E. On note $\mathscr{F}\in \mathscr{L}(E)$ l’endomorphisme de E déduit de la transformation de Fourier de $L^2(\mathbf{R})$ par passage aux sous-espaces.

a) Pour tout $f\in \mathscr{D}_+(\mathbf{R})$, on a $\mathscr{F}(f) +\mathscr{F}^*(f)\in \mathscr{D}_+(\mathbf{R})$. b) Soit $u$ l’opérateur partiel sur E dont le domaine est $\mathscr{D}_+(\mathbf{R})$ et qui est défini par $u(f) =\mathscr{F}(f) +\mathscr{F}^*(f)$ pour $f\in \mathscr{D}_+(\mathbf{R})$. L’opérateur $u$ est essentiellement auto-adjoint.

c) On a dom($u^2$) $=\{0\}$. (Utiliser l’exercice 28 de II, p. 273.)