Bài tập 12, § 5

Trang bị $\mathbf{R}$ với độ đo Lebesgue. Cho E là không gian con đóng của $L^2(\mathbf{R})$ tạo bởi các $f\in L^2(\mathbf{R})$ sao cho $f(-x) =f(x)$ với hầu khắp mọi $x\in \mathbf{R}$. Cho $\mathscr{D}_+(\mathbf{R})$ là không gian các hàm thử trên $\mathbf{R}$ sao cho $f(x) =f(-x)$ với mọi $x\in \mathbf{R}$. Ta đồng nhất $\mathscr{D}_+(\mathbf{R})$ với một không gian con của E. Ta ký hiệu bởi $\mathscr{F}\in \mathscr{L}(E)$ tự đồng cấu của E suy ra từ biến đổi Fourier của $L^2(\mathbf{R})$ bằng cách chuyển qua các không gian con.

a) Với mọi $f\in \mathscr{D}_+(\mathbf{R})$, ta có $\mathscr{F}(f) +\mathscr{F}^*(f)\in \mathscr{D}_+(\mathbf{R})$. b) Cho $u$ là toán tử bộ phận trên E có miền là $\mathscr{D}_+(\mathbf{R})$ và được xác định bởi $u(f) =\mathscr{F}(f) +\mathscr{F}^*(f)$ với $f\in \mathscr{D}_+(\mathbf{R})$. Toán tử $u$ là tự liên hợp thiết yếu.

c) Ta có dom($u^2$) $=\{0\}$. (Dùng Bài tập 28 của II, p. 273.)