Exercice 13, § 5

Soit E un espace hilbertien complexe et soit $u$ un opérateur partiel symétrique sur E. On suppose qu’il existe un nombre réel $c >0$ tel que $\langle x|u(x)\rangle \geqslant$ $c\|x\|^2$ pour tout $x\in$ dom($u$).

Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) L’opérateur partiel $u$ est essentiellement auto-adjoint ;

(ii) L’image de $u$ est dense dans E ;

(iii) Le noyau de $u^*$ est réduit à 0.