Bài tập 13, § 5

Cho E là một không gian Hilbert phức và cho $u$ là một toán tử từng phần đối xứng trên E. Giả sử tồn tại một số thực $c >0$ sao cho $\langle x|u(x)\rangle \geqslant$ $c\|x\|^2$ với mọi $x\in$ dom($u$).

Bây giờ chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương:

(i) Toán tử từng phần $u$ là tự liên hợp cốt yếu;

(ii) Ảnh của $u$ là trù mật trong E;

(iii) Hạt nhân của $u^*$ thu gọn về 0.