Exercice 14, § 5

Soit $n\in \{1,2,3\}$. On note Δ l’opérateur de Laplace sur $L^2(\mathbf{R}^n)$, et D son domaine. C’est un opérateur partiel positif.

a) Il existe un nombre réel $c\geqslant 0$ tel que pour tout $f\in D$, on a

b) Pour tout nombre réel $a >0$, il existe un nombre réel $b\geqslant 0$ tel que pour tout $f\in D$, on a

(Appliquer la question précédente à $x\mapsto f(\alpha x)$, où $\alpha \in \mathbf{R}^*_+.$)

c) Soit $g\in \mathscr{L}^{\infty}(\mathbf{R}^n) +\mathscr{L}^2(\mathbf{R}^n)$. Si $g$ est à valeurs réelles, alors l’opérateur partiel $\Delta +m_g$ est auto-adjoint.

d) Soit $\alpha$ un nombre réel tel que $0\leqslant \alpha < n/2$. Soient N la norme euclidienne sur $\mathbf{R}^n$ et $g$ la fonction sur $\mathbf{R}^n$ définie par $g(x) = 1/N(x)^{\alpha}$ si $x\not = 0$, et $g(0) = 0$. L’opérateur partiel $\Delta +m_g$ est auto-adjoint.