Bài tập 14, § 5

Cho $n\in \{1,2,3\}$. Ký hiệu bởi Δ toán tử Laplace trên $L^2(\mathbf{R}^n)$, và bởi D miền xác định của nó. Đó là một toán tử bộ phận dương.

a) Tồn tại một số thực $c\geqslant 0$ sao cho với mọi $f\in D$, ta có

b) Với mọi số thực $a >0$, tồn tại một số thực $b\geqslant 0$ sao cho với mọi $f\in D$, ta có

(Hãy áp dụng câu hỏi trước cho $x\mapsto f(\alpha x)$, với $\alpha \in \mathbf{R}^*_+.$)

c) Cho $g\in \mathscr{L}^{\infty}(\mathbf{R}^n) +\mathscr{L}^2(\mathbf{R}^n)$. Nếu $g$ nhận giá trị thực, thì toán tử bộ phận $\Delta +m_g$ là tự liên hợp.

d) Cho $\alpha$ là một số thực sao cho $0\leqslant \alpha < n/2$. Gọi N là chuẩn Euclid trên $\mathbf{R}^n$ và $g$ là hàm trên $\mathbf{R}^n$ được xác định bởi $g(x) = 1/N(x)^{\alpha}$ nếu $x\not = 0$, và $g(0) = 0$. Toán tử bộ phận $\Delta +m_g$ là tự liên hợp.