Exercice 16, § 5

a) Soit $I =]0,1[$. L’espace $H^1(I)$ est contenu dans $\mathscr{C}(I)$.

b) L’opérateur différentiel $u:f\mapsto -if'$ sur $L^2(I)$ de domaine $\mathscr{D}(I)$ est symétrique et fermable. Pour tout $f\in$ dom($u^*$), la distribution dérivée $f'$ de $f$ appartient à $L^2(I)$ et on a $u^*(f) =if'$.

c) Les espaces de carence de $\overline{u}$ sont de dimension 1 ; en déduire une description explicite de toutes les extensions auto-adjointes de $\overline{u}$.