Exercice 18, § 5

Soit $n$ un entier $\geqslant 1$. On note D l’opérateur partiel sur $L^2(\mathbf{T}^n)$ de domaine $\mathscr{C}^{\infty}(\mathbf{T}^n)$ tel que

pour tout $\varphi \in \mathscr{C}^{\infty}(\mathbf{T}^n)$,

a) L’opérateur partiel D est essentiellement auto-adjoint. On note Δ sa fermeture.

b) L’opérateur partiel Δ est auto-adjoint et positif.

c) L’opérateur partiel Δ est à résolvante compacte.

d) Soit $\lambda \in \mathbf{R}$. On a $\lambda \in$ Sp(Δ) si et seulement s’il existe des entiers naturels $k_1, . . .,k_n$ tels que $\lambda = 4\pi^2(k^2_1+\cdots +k^2_n)$.

e) Pour toute valeur propre $\lambda$ de Δ, soit $N(\lambda )$ la dimension de l’espace propre correspondant. On a a

quand $T\rightarrow +\infty$.

f) Si $n\geqslant 2$, alors lim sup$_{\lambda}N(\lambda ) = +\infty$. (Dans le cas $n= 2$, considérer $\lambda = 4\pi^2m$, où $m$ est un produit de nombres premiers de la forme $4k+ 1.$) g) Si $n= 1$ ou $n= 2$, on a

Card(Sp($u$)$\cap [0,T]$) $=o(T)$,

et si $n\geqslant 3$, on a

lim inf$_{T\rightarrow+\infty}\frac{1}{T}$ Card(Sp($u$)$\cap [0,T]$)$>0$.