Bài tập 18, § 5

Cho $n$ là một số nguyên $\geqslant 1$. Gọi D là toán tử riêng phần trên $L^2(\mathbf{T}^n)$ với miền $\mathscr{C}^{\infty}(\mathbf{T}^n)$ sao cho

với mọi $\varphi \in \mathscr{C}^{\infty}(\mathbf{T}^n)$,

a) Toán tử riêng phần D là tự liên hợp cốt yếu. Gọi Δ là bao đóng của nó.

b) Toán tử riêng phần Δ là tự liên hợp và dương.

c) Toán tử riêng phần Δ có giải thức compact.

d) Cho $\lambda \in \mathbf{R}$. Ta có $\lambda \in$ Sp(Δ) khi và chỉ khi tồn tại các số nguyên tự nhiên $k_1, . . .,k_n$ sao cho $\lambda = 4\pi^2(k^2_1+\cdots +k^2_n)$.

e) Với mỗi trị riêng $\lambda$ của Δ, gọi $N(\lambda )$ là chiều của không gian riêng tương ứng. Ta có

khi $T\rightarrow +\infty$.

f) Nếu $n\geqslant 2$, thì lim sup$_{\lambda}N(\lambda ) = +\infty$. (Trong trường hợp $n= 2$, xét $\lambda = 4\pi^2m$, trong đó $m$ là một tích của các số nguyên tố có dạng $4k+ 1.$) g) Nếu $n= 1$ hoặc $n= 2$, ta có

Card(Sp($u$)$\cap [0,T]$) $=o(T)$,

và nếu $n\geqslant 3$, ta có

lim inf$_{T\rightarrow+\infty}\frac{1}{T}$ Card(Sp($u$)$\cap [0,T]$)$>0$.