Exercice 19, § 5

Soit $u$ un opérateur partiel auto-adjoint sur un espace hilbertien E.

a) Soient $t\in \mathbf{R}$ et $x\in E$. Si la mesure spectrale de $x$ relative à $u$ est à support compact, alors on a

$e^{iu}(x) =\sum u^nn($!x),

$n\in \mathbf{N}$

où la série converge dans E.

b) L’ensemble des vecteurs $x\in E$ tels que la mesure spectrale de $x$ relative à $u$ est à support compact est un sous-espace dense de E.