Exercice 20, § 5

Soit $u$ un opérateur partiel sur un espace hilbertien E. On note dom($u$)$^{an}$ l’espace des vecteurs $x\in E$ tels que $x\in$ dom($u^n$) pour tout entier $n\in \mathbf{N}$, et tels que la série entière

(23) $\sum\|u^nn($!$x)\|z^n$

$n\in \mathbf{N}$ a un rayon de convergence $>0$. On dit que les éléments de dom($u$)$^{an}$ sont les vecteurs analytiques de $u$.

Soit $x$ un élément de E tel que $x$ appartient à dom($u^n$) pour tout $n\in \mathbf{N}$. Soit $E_x$ l’adhérence du sous-espace de E engendré par les vecteurs $u^n(x)$ pour $n\in \mathbf{N}$, et soit $u_x$ l’opérateur partiel sur $\overline{E}_x$ de domaine $E_x$ déduit de $u$ par passage aux sous-espaces. On dit que $x$ est un vecteur d’unicité de $u$ si $u_x$ est essentiellement auto-adjoint.

a) Supposons que $u$ est symétrique et que E contient un sous-ensemble total de vecteurs d’unicité pour $u$. Alors $u$ est essentiellement auto-adjoint. (Montrer que l’image de $u+i1_E$ et celle de $u-i1_E$ sont denses dans E.)

Supposons désormais que $u$ est symétrique et que E contient un sous-ensemble total de vecteurs analytiques.

b) Pour tout vecteur analytique $x$ de $u$, l’opérateur partiel $u_x$ sur $\overline{E}_x$ admet une extension auto-adjointe.

c) Soit $x$ un vecteur analytique pour $u$ et $r >0$ le rayon de convergence de la série entière (23). Soit $v$ une extension auto-adjointe de $u_x$. Pour tout $t\in \mathbf{R}$ tel que $|t|< r$, on a

$\langle e^{itv}(x)|x\rangle =\sum(itn)$!$^n\langle u^n(x)|x\rangle$.

$n\in \mathbf{N}$

(En utilisant la mesure spectrale de $x$ relative à $v$, démontrer que le membre de gauche est la restriction d’une fonction analytique sur l’ensemble des $t\in \mathbf{C}$ tels que $|t|< r$, et calculer le développement en série entière de cette fonction en 0.)

d) Pour tout $t\in \mathbf{R}$, l’opérateur unitaire $e^{itv}$ ne dépend que de $u_x$ et l’opérateur $u_x$ est essentiellement auto-adjoint. (Utiliser le théorème V, p. 428.) e) En déduire que $u$ est essentiellement auto-adjoint.

f) Un opérateur partiel symétrique et fermé $u$ sur E est auto-adjoint si et seulement si dom($u$)$^{an}$ est dense dans E.