Bài tập 20, § 5

Cho $u$ là một toán tử bộ phận trên một không gian Hilbert E. Ký hiệu dom($u$)$^{an}$ là không gian các vectơ $x\in E$ sao cho $x\in$ dom($u^n$) với mọi số nguyên $n\in \mathbf{N}$, và sao cho chuỗi lũy thừa

(23) $\sum\|u^nn($!$x)\|z^n$

$n\in \mathbf{N}$ có bán kính hội tụ $>0$. Các phần tử của dom($u$)$^{an}$ được gọi là các vectơ giải tích của $u$.

Cho $x$ là một phần tử của E sao cho $x$ thuộc dom($u^n$) với mọi $n\in \mathbf{N}$. Gọi $E_x$ là bao đóng của không gian con của E sinh bởi các vectơ $u^n(x)$ với $n\in \mathbf{N}$, và gọi $u_x$ là toán tử bộ phận trên $\overline{E}_x$ có miền $E_x$ suy ra từ $u$ bằng cách chuyển qua các không gian con. Người ta nói rằng $x$ là một vectơ duy nhất của $u$ nếu $u_x$ là tự liên hợp thiết yếu.

a) Giả sử rằng $u$ là đối xứng và E chứa một tập con toàn thể các vectơ duy nhất của $u$. Khi đó $u$ là tự liên hợp thiết yếu. (Chứng minh rằng ảnh của $u+i1_E$ và ảnh của $u-i1_E$ là trù mật trong E.)

Từ nay về sau, giả sử rằng $u$ là đối xứng và E chứa một tập con toàn thể các vectơ giải tích.

b) Với mọi vectơ giải tích $x$ của $u$, toán tử bộ phận $u_x$ trên $\overline{E}_x$ có một mở rộng tự liên hợp.

c) Cho $x$ là một vectơ giải tích của $u$ và cho $r >0$ là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa (23). Cho $v$ là một mở rộng tự liên hợp của $u_x$. Với mọi $t\in \mathbf{R}$ sao cho $|t|< r$, ta có

$\langle e^{itv}(x)|x\rangle =\sum(itn)$!$^n\langle u^n(x)|x\rangle$.

$n\in \mathbf{N}$

(Sử dụng độ đo phổ của $x$ tương đối với $v$, chứng minh rằng vế trái là hạn chế của một hàm giải tích trên tập hợp các $t\in \mathbf{C}$ sao cho $|t|< r$, và tính khai triển chuỗi lũy thừa của hàm này tại 0.)

d) Với mọi $t\in \mathbf{R}$, toán tử unita $e^{itv}$ chỉ phụ thuộc vào $u_x$ và toán tử $u_x$ là tự liên hợp thiết yếu. (Sử dụng Định lý V, p. 428.) e) Suy ra rằng $u$ là tự liên hợp thiết yếu.

f) Một toán tử bộ phận đối xứng và đóng $u$ trên E là tự liên hợp khi và chỉ khi dom($u$)$^{an}$ trù mật trong E.