Exercice 21, § 5

On note $x$ la fonction identique de $\mathbf{R}$. On note $\mathscr{M}_m(\mathbf{R})$ l’ensemble des mesures positives $\nu$ sur $\mathbf{R}$ telles que $x^n\in \mathscr{L}^1(\mathbf{R}, \nu )$ pour tout entier $n\in \mathbf{N}$. a) Soit $\nu \in \mathscr{M}_m(\mathbf{R})$ et posons $\mu_n=\nu (x^n)$ pour tout $n\in \mathbf{N}$ (« moments de la mesure $\nu$ »). Pour tout entier $n\geqslant 0$ et pour tous nombres complexes $a_0, . . . , a_n$, on a

On se propose dans la suite d’étudier l’assertion réciproque de la question a) (« problème des moments de Hamburger »). Dans la suite de cet exercice, on suppose donc donnée une suite $\boldsymbol{\mu}= (\mu_n)_{n\geqslant 0}$ de nombres réels vérifiant la condition (24). b) Il existe une unique forme sesquilinéaire positive $b_{\boldsymbol{\mu}}$ sur $\mathbf{C}[X]$ telle que $b_{\boldsymbol{\mu}}(X^i,X^j) =\mu_{i+j}$ pour tous entiers $i$ et $j$.

On note $E_{\boldsymbol{\mu}}$ l’espace hilbertien séparé-complété de $\mathbf{C}[X]$ pour la forme $b_{\boldsymbol{\mu}}$. c) L’application linéaire $u_{\boldsymbol{\mu}}$ de $\mathbf{C}[X]$ dans $\mathbf{C}[X]$ définie par $u_{\boldsymbol{\mu}}(P) =$ XP induit par passage au quotient un opérateur partiel symétrique $u_{\boldsymbol{\mu}}$ sur l’espace hilbertien $E_{\boldsymbol{\mu}}$.

d) L’opérateur partiel $u_{\boldsymbol{\mu}}$ admet une extension auto-adjointe.

e) Il existe une mesure $\nu \in \mathscr{M}_m(\mathbf{R})$ telle que $\mu_n=\nu (x^n)$ pour tout $n\in \mathbf{N}$. f) La forme sesquilinéaire $b_{\boldsymbol{\mu}}$ est séparante si et seulement si, pour toute mesure $\nu \in \mathscr{M}_m(\mathbf{R})$ telle que $\mu_n=\nu (x^n)$ pour tout $n\in \mathbf{N}$, le support de $\nu$ est infini. (Observer que le membre de gauche de l’inégalité (24) est égal à $b_\mu(p, p)$ pour $p=a_0+\cdots +a_nX^n.$)