Bài tập 21, § 5

Gọi $x$ là hàm đồng nhất của $\mathbf{R}$. Gọi $\mathscr{M}_m(\mathbf{R})$ là tập hợp các độ đo dương $\nu$ trên $\mathbf{R}$ sao cho $x^n\in \mathscr{L}^1(\mathbf{R}, \nu )$ với mọi số nguyên $n\in \mathbf{N}$. a) Cho $\nu \in \mathscr{M}_m(\mathbf{R})$ và đặt $\mu_n=\nu (x^n)$ với mọi $n\in \mathbf{N}$ ("các moment của độ đo $\nu$"). Với mọi số nguyên $n\geqslant 0$ và với mọi số phức $a_0, . . . , a_n$, ta có

Trong phần sau, chúng tôi đề nghị nghiên cứu mệnh đề đảo lại của câu hỏi a) ("bài toán moment Hamburger"). Trong phần còn lại của bài tập này, do đó ta giả sử đã cho một dãy $\boldsymbol{\mu}= (\mu_n)_{n\geqslant 0}$ các số thực thỏa mãn điều kiện (24). b) Tồn tại duy nhất một dạng sesquilinear dương $b_{\boldsymbol{\mu}}$ trên $\mathbf{C}[X]$ sao cho $b_{\boldsymbol{\mu}}(X^i,X^j) =\mu_{i+j}$ với mọi số nguyên $i$ và $j$.

Gọi $E_{\boldsymbol{\mu}}$ là không gian Hilbert hoàn thành tách được của $\mathbf{C}[X]$ đối với dạng $b_{\boldsymbol{\mu}}$. c) Ánh xạ tuyến tính $u_{\boldsymbol{\mu}}$ từ $\mathbf{C}[X]$ vào $\mathbf{C}[X]$ được xác định bởi $u_{\boldsymbol{\mu}}(P) =$ XP cảm sinh, khi chuyển qua thương, một toán tử bộ phận đối xứng $u_{\boldsymbol{\mu}}$ trên không gian Hilbert $E_{\boldsymbol{\mu}}$.

d) Toán tử bộ phận $u_{\boldsymbol{\mu}}$ thừa nhận một mở rộng tự liên hợp.

e) Tồn tại một độ đo $\nu \in \mathscr{M}_m(\mathbf{R})$ sao cho $\mu_n=\nu (x^n)$ với mọi $n\in \mathbf{N}$. f) Dạng sesquilinear $b_{\boldsymbol{\mu}}$ là tách được khi và chỉ khi, với mọi độ đo $\nu \in \mathscr{M}_m(\mathbf{R})$ sao cho $\mu_n=\nu (x^n)$ với mọi $n\in \mathbf{N}$, giá của $\nu$ là vô hạn. (Hãy nhận xét rằng vế trái của bất đẳng thức (24) bằng $b_\mu(p, p)$ với $p=a_0+\cdots +a_nX^n.$)