Exercice 23, § 5

On reprend les notations de l’exercice précédent ; en particulier, on considère une suite $\boldsymbol{\mu}= (\mu_n)_{n\in\mathbf{N}}$ de nombres réels vérifiant les conditions (24) et telle que la forme sesquilinéaire $b_{\boldsymbol{\mu}}$ est séparante. On identifie $\mathbf{C}[X]$ à un sous-espace dense de $E_{\boldsymbol{\mu}}$.

a) Il existe une unique suite $(p_n)_{n\in\mathbf{N}}$ de polynômes dans $\mathbf{C}[X]$ telle que les conditions suivantes soient satisfaites (« polynômes orthogonaux de première espèce associés à $\boldsymbol{\mu}$ ») :

(i) La famille $(p_n)$ est une base orthonormale de $E_{\boldsymbol{\mu}}$;

(ii) Le polynôme $p_n$ est de degré $n$ pour tout $n\in \mathbf{N}$;

(iii) Le coefficient de $X^n$ de $p_n$ appartient à $\mathbf{R}_+^*$.

De plus, on a $p_n\in \mathbf{R}[X]$ pour tout $n\in \mathbf{N}$ et $p_0= 1/\overline{\mu_0}$. On notera également $p_{-1}= 0$.

b) Il existe des suites $(a_n)_{n\geqslant-1}$ dans $\mathbf{R}^*_+$ et $(b_n)_{n\in\mathbf{N}}$ dans $\mathbf{R}$ telles que $a_{-1}= 1$ et

pour tout $n\in \mathbf{N}$. Ces suites sont uniques.

c) Pour tout $n\geqslant 1$, le coefficient de $X^n$ du polynôme orthogonal $p_n$ est égal à $(a_0\cdots a_{n-1})^{-1}$.

d) Soit $\mathscr{F}$ l’espace vectoriel complexe des suites $(z_n)_{n\geqslant-1}$ de nombres complexes telles que $z_{-1}= 0$. On note $\widetilde{v}_{\boldsymbol{\mu}}$ l’application linéaire de $\mathscr{F}$ dans lui-même telle que $\widetilde{v}_{\boldsymbol{\mu}}(z_n) = (w_n)_{n\in\mathbf{N}}$ où $w_{-1}= 0$ et

pour tout $n\in \mathbf{N}$.

Pour tout $s\in \mathbf{C}$, la suite $z_s= (p_n(s))_{n\geqslant-1}$ est l’unique suite dans $\mathscr{F}$ telle $(z_s)_0=p_0(z)$ et $\widetilde{v}_{\boldsymbol{\mu}}(z_s) =sz_s$.

e) Soient $z$ et $w$ des éléments de $\mathscr{F}$. On définit la suite $W(z, w) =$ $(W_n(z, w))_{n\in\mathbf{N}}$ en posant

pour $n\in \mathbf{N}$. On a

pour tout $n\in \mathbf{N}$.

f) Soit $P\subset \ell^2(\mathbf{N})$ l’espace des suites à support fini. Pour tout $z\in P$, la suite $\widetilde{v}_{\boldsymbol{\mu}}(z)$ appartient à $\ell^2(\mathbf{N})$.

On note $v_{\boldsymbol{\mu}}$ l’opérateur partiel sur $\ell^2(\mathbf{N})$ de domaine P donné par $z\mapsto \widetilde{v}_{\boldsymbol{\mu}}(z)$. Il est symétrique.

g) L’adjoint de $v_{\boldsymbol{\mu}}$ est l’opérateur partiel de domaine

dom($v^*_{\boldsymbol{\mu}}$) $=\{z\in \ell^2(\mathbf{N})|\widetilde{v}_{\boldsymbol{\mu}}(z)\in \ell^2(\mathbf{N})\}$

tel que $v^*_{\boldsymbol{\mu}}(z) =\widetilde{v}_{\boldsymbol{\mu}}(z)$ pour $z\in$ dom($v_{\boldsymbol{\mu}}^*$).

h) Pour tous $z$ et $w$ dans dom($v_{\boldsymbol{\mu}}^*$), la limite de $W_n(z, w)$ quand $n\rightarrow +\infty$ existe et est égale à $\langle w|v^*_{\boldsymbol{\mu}}(z)\rangle - \langle v_{\boldsymbol{\mu}}^*(w)|z\rangle$.

i) Soit $s\in \mathbf{C}$. Le noyau de $v_{\boldsymbol{\mu}}^*-s\cdot 1_{\ell^2(\mathbf{N})}$ est de dimension $\leqslant 1$; il est de dimension 1 si et seulement si $z_s\in \ell^2(\mathbf{N})$, et il est alors engendré par $z_s$.

j) La fermeture de l’opérateur partiel $v_{\boldsymbol{\mu}}$ (resp. de $u_{\boldsymbol{\mu}}$) a indice de carence $(0,0)$ ou $(1,1)$; le premier cas vaut si et seulement s’il existe $s\in \mathbf{C}-\mathbf{R}$ tel que $z_s\notin\ell^2(\mathbf{N})$. (Pour le cas de $u_{\boldsymbol{\mu}}$, observer que l’application $X^n\mapsto e_n$, où $(e_n)$ est la base canonique de $\ell^2(\mathbf{N})$, induit un isomorphisme isométrique de $E_{\boldsymbol{\mu}}$ dans $\ell^2(\mathbf{N})$ qui permet d’identifier $u_{\boldsymbol{\mu}}$ à $v_{\boldsymbol{\mu}}.$)

k) Soient $s\in \mathbf{C}$ et $f\in$ Ker($u^*_{\boldsymbol{\mu}}-s\cdot 1_{E_{\boldsymbol{\mu}}}$). Si $\langle f|1\rangle = 0$, alors $f= 0$.

l) Soient $u_1$ et $u_2$ des extensions auto-adjointes de $u_{\boldsymbol{\mu}}$ sur $E_{\boldsymbol{\mu}}$. On a $u_1=u_2$ si et seulement s’il existe $s\in \mathbf{C}-\mathbf{R}$ tel que $\langle R(u_1, s)1|1\rangle =\langle R(u_2, s)1|1\rangle$. (Supposons qu’une telle égalité a lieu ; poser $f_1= R(u_1, s)1$, et montrer que $f_1$ n’appartient pas au domaine de $\overline{u}_{\boldsymbol{\mu}}$; en déduire que $u_1$ coïncide avec la fermeture de la restriction de $u_1$ à dom($\overline{u}_{\boldsymbol{\mu}}$)$\oplus \mathbf{C}f_1$. Raisonner de même avec $u_2$ et $f_2= R(u_2, s)1$, puis démontrer que $f_1=f_2$ pour conclure que $u_1=u_2.$) m) Supposons que $u_{\boldsymbol{\mu}}$ n’est pas essentiellement auto-adjoint. Il existe alors au moins deux mesures $\nu \in \mathscr{M}_m(\mathbf{R})$ vérifiant $\nu (x^n) =\mu_n$ pour tout $n\in \mathbf{N}$. n) On suppose dans la suite que $u_{\boldsymbol{\mu}}$ est essentiellement auto-adjoint. Pour tout $s\in$ C-R, il existe une suite $(r_{s,m})_{m\in\mathbf{N}}$ de polynômes telle que $(x-s)r_{s,m}$ converge dans $E_\mu$ vers la fonction constante 1 quand $m\rightarrow +\infty$.

o) Soit $\nu \in \mathscr{M}_m(\mathbf{R})$ une mesure telle que $\nu (x^n) =\mu_n$ pour tout $n\in \mathbf{N}$. Pour tout $m\in \mathbf{N}$, l’inégalité

est valide.

p) La mesure $\nu$ est unique.