Bài tập 23, § 5

Ta nhắc lại ký hiệu của bài tập trước; đặc biệt, ta xét một dãy $\boldsymbol{\mu}= (\mu_n)_{n\in\mathbf{N}}$ các số thực thỏa mãn các điều kiện (24) và sao cho dạng sesquilinear $b_{\boldsymbol{\mu}}$ là tách được. Ta đồng nhất $\mathbf{C}[X]$ với một không gian con trù mật của $E_{\boldsymbol{\mu}}$.

a) Tồn tại một dãy duy nhất $(p_n)_{n\in\mathbf{N}}$ các đa thức trong $\mathbf{C}[X]$ sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn ("các đa thức trực giao loài thứ nhất liên kết với $\boldsymbol{\mu}$"):

(i) Họ $(p_n)$ là một cơ sở trực chuẩn của $E_{\boldsymbol{\mu}}$;

(ii) Đa thức $p_n$ có bậc $n$ với mọi $n\in \mathbf{N}$;

(iii) Hệ số của $X^n$ trong $p_n$ thuộc $\mathbf{R}_+^*$.

Hơn nữa, ta có $p_n\in \mathbf{R}[X]$ với mọi $n\in \mathbf{N}$ và $p_0= 1/\overline{\mu_0}$. Ta cũng đặt $p_{-1}= 0$.

b) Tồn tại các dãy $(a_n)_{n\geqslant-1}$ trong $\mathbf{R}^*_+$ và $(b_n)_{n\in\mathbf{N}}$ trong $\mathbf{R}$ sao cho $a_{-1}= 1$ và

với mọi $n\in \mathbf{N}$. Các dãy này là duy nhất.

c) Với mọi $n\geqslant 1$, hệ số của $X^n$ trong đa thức trực giao $p_n$ bằng $(a_0\cdots a_{n-1})^{-1}$.

d) Gọi $\mathscr{F}$ là không gian vectơ phức của các dãy $(z_n)_{n\geqslant-1}$ các số phức sao cho $z_{-1}= 0$. Ta ký hiệu $\widetilde{v}_{\boldsymbol{\mu}}$ là ánh xạ tuyến tính của $\mathscr{F}$ vào chính nó sao cho $\widetilde{v}_{\boldsymbol{\mu}}(z_n) = (w_n)_{n\in\mathbf{N}}$ trong đó $w_{-1}= 0$ và

với mọi $n\in \mathbf{N}$.

Với mọi $s\in \mathbf{C}$, dãy $z_s= (p_n(s))_{n\geqslant-1}$ là dãy duy nhất trong $\mathscr{F}$ sao cho $(z_s)_0=p_0(z)$ và $\widetilde{v}_{\boldsymbol{\mu}}(z_s) =sz_s$.

e) Cho $z$ và $w$ là các phần tử của $\mathscr{F}$. Ta định nghĩa dãy $W(z, w) =$ $(W_n(z, w))_{n\in\mathbf{N}}$ bằng cách đặt

với $n\in \mathbf{N}$. Ta có

với mọi $n\in \mathbf{N}$.

f) Gọi $P\subset \ell^2(\mathbf{N})$ là không gian của các dãy có giá hữu hạn. Với mọi $z\in P$, dãy $\widetilde{v}_{\boldsymbol{\mu}}(z)$ thuộc $\ell^2(\mathbf{N})$.

Ta ký hiệu bởi $v_{\boldsymbol{\mu}}$ toán tử bộ phận trên $\ell^2(\mathbf{N})$ có miền xác định P được xác định bởi $z\mapsto \widetilde{v}_{\boldsymbol{\mu}}(z)$. Nó đối xứng.

g) Toán tử liên hợp của $v_{\boldsymbol{\mu}}$ là toán tử bộ phận có miền xác định

dom($v^*_{\boldsymbol{\mu}}$) $=\{z\in \ell^2(\mathbf{N})|\widetilde{v}_{\boldsymbol{\mu}}(z)\in \ell^2(\mathbf{N})\}$

sao cho $v^*_{\boldsymbol{\mu}}(z) =\widetilde{v}_{\boldsymbol{\mu}}(z)$ với $z\in$ dom($v_{\boldsymbol{\mu}}^*$).

h) Với mọi $z$ và $w$ trong dom($v_{\boldsymbol{\mu}}^*$), giới hạn của $W_n(z, w)$ khi $n\rightarrow +\infty$ tồn tại và bằng $\langle w|v^*_{\boldsymbol{\mu}}(z)\rangle - \langle v_{\boldsymbol{\mu}}^*(w)|z\rangle$.

i) Cho $s\in \mathbf{C}$. Hạt nhân của $v_{\boldsymbol{\mu}}^*-s\cdot 1_{\ell^2(\mathbf{N})}$ có chiều $\leqslant 1$; nó có chiều 1 khi và chỉ khi $z_s\in \ell^2(\mathbf{N})$, và khi đó được sinh bởi $z_s$.

j) Bao đóng của toán tử bộ phận $v_{\boldsymbol{\mu}}$ (tương ứng, của $u_{\boldsymbol{\mu}}$) có chỉ số khuyết $(0,0)$ hoặc $(1,1)$; trường hợp thứ nhất xảy ra khi và chỉ khi tồn tại $s\in \mathbf{C}-\mathbf{R}$ sao cho $z_s\notin\ell^2(\mathbf{N})$. (Đối với trường hợp của $u_{\boldsymbol{\mu}}$, chú ý rằng ánh xạ $X^n\mapsto e_n$, trong đó $(e_n)$ là cơ sở chính tắc của $\ell^2(\mathbf{N})$, gây ra một đẳng cấu đẳng cự từ $E_{\boldsymbol{\mu}}$ vào $\ell^2(\mathbf{N})$ cho phép đồng nhất $u_{\boldsymbol{\mu}}$ với $v_{\boldsymbol{\mu}}.$)

k) Cho $s\in \mathbf{C}$ và $f\in$ Ker($u^*_{\boldsymbol{\mu}}-s\cdot 1_{E_{\boldsymbol{\mu}}}$). Nếu $\langle f|1\rangle = 0$, thì $f= 0$.

l) Cho $u_1$ và $u_2$ là các mở rộng tự liên hợp của $u_{\boldsymbol{\mu}}$ trên $E_{\boldsymbol{\mu}}$. Ta có $u_1=u_2$ khi và chỉ khi tồn tại $s\in \mathbf{C}-\mathbf{R}$ sao cho $\langle R(u_1, s)1|1\rangle =\langle R(u_2, s)1|1\rangle$. (Giả sử rằng có một đẳng thức như vậy; đặt $f_1= R(u_1, s)1$, và bây giờ chứng minh rằng $f_1$ không thuộc miền xác định của $\overline{u}_{\boldsymbol{\mu}}$; suy ra rằng $u_1$ trùng với bao đóng của hạn chế của $u_1$ trên dom($\overline{u}_{\boldsymbol{\mu}}$)$\oplus \mathbf{C}f_1$. Lập luận tương tự với $u_2$ và $f_2= R(u_2, s)1$, rồi chứng minh rằng $f_1=f_2$ để kết luận rằng $u_1=u_2.$) m) Giả sử rằng $u_{\boldsymbol{\mu}}$ không tự liên hợp cốt yếu. Khi đó tồn tại ít nhất hai độ đo $\nu \in \mathscr{M}_m(\mathbf{R})$ thỏa mãn $\nu (x^n) =\mu_n$ với mọi $n\in \mathbf{N}$. n) Trong phần sau, giả sử rằng $u_{\boldsymbol{\mu}}$ tự liên hợp cốt yếu. Với mọi $s\in$ C-R, tồn tại một dãy $(r_{s,m})_{m\in\mathbf{N}}$ các đa thức sao cho $(x-s)r_{s,m}$ hội tụ trong $E_\mu$ đến hàm hằng 1 khi $m\rightarrow +\infty$.

o) Cho $\nu \in \mathscr{M}_m(\mathbf{R})$ là một độ đo sao cho $\nu (x^n) =\mu_n$ với mọi $n\in \mathbf{N}$. Với mọi $m\in \mathbf{N}$, bất đẳng thức

là đúng.

p) Độ đo $\nu$ là duy nhất.