Exercice 24, § 5

On reprend les notations des exercices précédents ; en particulier, on considère une suite $\boldsymbol{\mu}= (\mu_n)_{n\in\mathbf{N}}$ de nombres réels vérifiant les conditions (24) et telle que la forme sesquilinéaire $b_{\boldsymbol{\mu}}$ est séparante.

a) Il existe une unique suite de polynômes $(q_n)_{n\in\mathbf{N}}$ à coefficients réels telle que pour tout $s\in \mathbf{C}$, la formule

soit valide (« polynômes orthogonaux de seconde espèce »).

b) Soit $\nu \in \mathscr{M}_m(\mathbf{R})$ une mesure sur $\mathbf{R}$ telle que $\nu (x^n) =\mu_n$ pour tout $n\in \mathbf{N}$. Pour tout $s\in \mathbf{C}-\mathbf{R}$, on a

c) Soit $s\in$ C-R. La suite $(p_n(s))_{n\in\mathbf{N}}$ appartient à $\ell^2(\mathbf{N})$ si et seulement si la suite $(q_n(s))_{n\in\mathbf{N}}$ appartient à $\ell^2(\mathbf{N})$. (Soit $\sigma (s) =\int(t-s)^{-1}d\nu (t)$; démontrer à l’aide de la question précédente que la suite $(q_n(s) +\sigma (s)p_n(s))_{n\in\mathbf{N}}$ appartient à $\ell^2(\mathbf{N}).$)

d) Pour tout $n\in \mathbf{N}$, la formule

est valide dans $\mathbf{C}[X,Y]$.

e) Pour tout $n\in \mathbf{N}$, on a la relation

f) Si la série de terme général $a^{-1}_n$ est divergente, alors la mesure $\nu$ est l’unique mesure telle que $\nu (x^n) =\mu_n$ pour tout $n\in \mathbf{N}$.