Bài tập 24, § 5

Chúng ta xét lại các ký hiệu của các bài tập trước; đặc biệt, ta xét một dãy $\boldsymbol{\mu}= (\mu_n)_{n\in\mathbf{N}}$ các số thực thỏa mãn các điều kiện (24) và sao cho dạng sesqui tuyến tính $b_{\boldsymbol{\mu}}$ là tách biệt.

a) Tồn tại duy nhất một dãy đa thức $(q_n)_{n\in\mathbf{N}}$ với các hệ số thực sao cho với mọi $s\in \mathbf{C}$, công thức

là đúng ("các đa thức trực giao của loài thứ hai").

b) Cho $\nu \in \mathscr{M}_m(\mathbf{R})$ là một độ đo trên $\mathbf{R}$ sao cho $\nu (x^n) =\mu_n$ với mọi $n\in \mathbf{N}$. Với mọi $s\in \mathbf{C}-\mathbf{R}$, ta có

c) Cho $s\in$ C-R. Dãy $(p_n(s))_{n\in\mathbf{N}}$ thuộc $\ell^2(\mathbf{N})$ khi và chỉ khi dãy $(q_n(s))_{n\in\mathbf{N}}$ thuộc $\ell^2(\mathbf{N})$. (Đặt $\sigma (s) =\int(t-s)^{-1}d\nu (t)$; hãy chứng minh, nhờ câu hỏi trước, rằng dãy $(q_n(s) +\sigma (s)p_n(s))_{n\in\mathbf{N}}$ thuộc $\ell^2(\mathbf{N}).$)

d) Với mọi $n\in \mathbf{N}$, công thức

là đúng trong $\mathbf{C}[X,Y]$.

e) Với mọi $n\in \mathbf{N}$, ta có quan hệ

f) Nếu chuỗi có số hạng tổng quát $a^{-1}_n$ là phân kỳ, thì độ đo $\nu$ là độ đo duy nhất sao cho $\nu (x^n) =\mu_n$ với mọi $n\in \mathbf{N}$.