Exercice 25, § 5

Étiquette 0380, permanente. À citer comme [Bourbaki, Tag 0380].

Théories spectrales, IV, p. 363

On reprend les notations des exercices précédents ; en particulier, on considère une suite $\boldsymbol{\mu}= (\mu_n)_{n\in\mathbf{N}}$ de nombres réels vérifiant les conditions (24) et telle que la forme sesquilinéaire $b_{\boldsymbol{\mu}}$ est séparante.

On suppose que $\mu_0= 1$ et que la condition de Carleman est vérifiée, c’est-à-dire que la série de terme général $\mu_{2n}^{-1/(2n)}$ pour $n\geqslant 1$ est divergente. a) On a

\mu^{-1/(2n)}_{2n}\leqslant (a_0\cdots a_{n-1})^{-1/n}\leqslant \frac{e}{n^2}\sum_{j=1}^n\frac{j}{a_{j-1}}

pour tout entier $n\geqslant 1$ . (Pour établir la seconde inégalité, on pourra démontrer et utiliser l’inégalité $(n/e)^n\leqslant n$ ! pour $n\geqslant 1.$ )

b) La série de terme général $a^{-1}_n$ pour $n\geqslant 1$ est divergente.

c) Il existe une unique mesure $\nu \in \mathscr{M}_m(\mathbf{R})$ telle que $\nu (x^n) =\mu_n$ pour tout $n\in \mathbf{N}$ .

Solution

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