Bài tập 25, § 5

Ta nhắc lại ký hiệu của các bài tập trước; đặc biệt, ta xét một dãy $\boldsymbol{\mu}= (\mu_n)_{n\in\mathbf{N}}$ các số thực thỏa mãn các điều kiện (24) và sao cho dạng sesqui tuyến tính $b_{\boldsymbol{\mu}}$ là tách.

Giả sử rằng $\mu_0= 1$ và điều kiện Carleman được thỏa mãn, nghĩa là chuỗi có số hạng tổng quát $\mu_{2n}^{-1/(2n)}$ với $n\geqslant 1$ là phân kỳ. a) Ta có

với mọi số nguyên $n\geqslant 1$. (Để thiết lập bất đẳng thức thứ hai, người ta có thể chứng minh và sử dụng bất đẳng thức $(n/e)^n\leqslant n$! với $n\geqslant 1.$)

b) Chuỗi có số hạng tổng quát $a^{-1}_n$ với $n\geqslant 1$ là phân kỳ.

c) Tồn tại duy nhất một độ đo $\nu \in \mathscr{M}_m(\mathbf{R})$ sao cho $\nu (x^n) =\mu_n$ với mọi $n\in \mathbf{N}$.