Exercice 27, § 5

On note $M = X^2Y^2(X^2+ Y^2-3)\in \mathbf{R}[X,Y]$ (« polynôme de Motzkin »). a) On a $M(x, y)\geqslant 0$ pour tous $x$ et $y$ dans $\mathbf{R}$.

b) Il n’existe aucune famille finie $(p_i)_{i\in I}$ dans $\mathbf{R}[X,Y]$ telle que $M =\sum p^2_i$. (Si une telle famille existait, montrer que chaque $p_i$ doit être de la forme $a+b$XY avec $a\in \mathbf{R}$ et $b\in \mathbf{R}[X,Y]$ de degré au plus 1 ; calculer alors le coefficient de (XY)$^2.$)

c) Soit $\tau :\mathbf{N}^2\rightarrow \mathbf{N}-\{0\}$ l’application définie par

et

$\tau (i, j) =j+ 1 + (i+j)(i+j+ 1)/2$ si $i+j\geqslant 4$.

L’application $\tau$ est une bijection.

d) Soit $(\nu_n)_{n\geqslant 1}$ la suite définie par

$\nu_i= 1$ si $i\in \{1,2,3\},\nu_4= 4,\nu_n= (n$!)$^{(n+1)!}$ si $n\geqslant 5$.

Pour $n$ et $m$ dans $\mathbf{N}$, on pose $\mu_{n,m}$ = 0 si $n$ ou $m$ est impair et $\mu_{n,m}=\nu_{\tau(n/2,m/2)}$ sinon. L’application linéaire $\alpha$ de $\mathbf{C}[X,Y]$ dans $\mathbf{C}$ telle que $\alpha (X^nY^m) =\mu_{n,m}$ vérifie $\alpha (p^2)\geqslant 0$ pour tout $p\in \mathbf{R}[X,Y]$. (Il suffit de vérifier que, pour tout entier $k\in \mathbf{N}$, le déterminant de la matrice $(a_{m,m})_{1\leqslant n,m\leqslant k}$ est positif, où $a_{n,m}$ est défini par $a_{\tau(i,j),\tau(i',j')}=\alpha (X^{i+i'}Y^{j+j'})$ pour tous $(i, j, i', j')$; procéder alors par récurrence sur $k.$)

e) Il n’existe pas de mesure positive $\nu$ sur $\mathbf{R}^2$ telle que $(x, y)\mapsto x^ny^m$ soit $\mu$-intégrable pour tous $(n, m)\in \mathbf{N}^2$, et telle que

pour tous $(n, m)\in \mathbf{N}^2$. f ) Il existe un espace hilbertien E et un opérateur partiel $u$ à domaine dense sur E vérifiant les conditions suivantes :

(i) On a dom($u$)$\subset$ dom($u^*$);

(ii) On a $\|u(x)\|=\|u^*(x)\|$ pour tout $x\in$ dom($u$);

(iii) Il n’existe pas d’espace hilbertien F contenant E comme sous-espace, de sorte que l’injection canonique de E dans F soit isométrique, et d’opérateur partiel normal $v$ sur F tel que $u\subset v$.

Comparer ce résultat avec l’exercice 24 de IV, p. 352.