Bài tập 27, § 5

Cho $M = X^2Y^2(X^2+ Y^2-3)\in \mathbf{R}[X,Y]$ ("đa thức Motzkin"). (a) Có $M(x, y)\geqslant 0$ với mọi $x$ và $y$ trong $\mathbf{R}$.

(b) Không tồn tại họ hữu hạn $(p_i)_{i\in I}$ trong $\mathbf{R}[X,Y]$ sao cho $M =\sum p^2_i$. (Nếu một họ như vậy tồn tại, bây giờ chứng minh rằng mỗi $p_i$ phải có dạng $a+b$XY với $a\in \mathbf{R}$ và $b\in \mathbf{R}[X,Y]$ có bậc nhiều nhất là 1; sau đó tính hệ số của (XY)$^2.$)

(c) Cho $\tau :\mathbf{N}^2\rightarrow \mathbf{N}-\{0\}$ là ánh xạ được xác định bởi

và

$\tau (i, j) =j+ 1 + (i+j)(i+j+ 1)/2$ nếu $i+j\geqslant 4$.

Ánh xạ $\tau$ là một song ánh.

(d) Cho $(\nu_n)_{n\geqslant 1}$ là dãy được xác định bởi

$\nu_i= 1$ nếu $i\in \{1,2,3\},\nu_4= 4,\nu_n= (n$!)$^{(n+1)!}$ nếu $n\geqslant 5$.

Với $n$ và $m$ trong $\mathbf{N}$, đặt $\mu_{n,m}$ = 0 nếu $n$ hoặc $m$ là lẻ và $\mu_{n,m}=\nu_{\tau(n/2,m/2)}$ trong trường hợp ngược lại. Ánh xạ tuyến tính $\alpha$ từ $\mathbf{C}[X,Y]$ vào $\mathbf{C}$ sao cho $\alpha (X^nY^m) =\mu_{n,m}$ thỏa mãn $\alpha (p^2)\geqslant 0$ với mọi $p\in \mathbf{R}[X,Y]$. (Chỉ cần kiểm tra rằng, với mọi số nguyên $k\in \mathbf{N}$, định thức của ma trận $(a_{m,m})_{1\leqslant n,m\leqslant k}$ là dương, trong đó $a_{n,m}$ được xác định bởi $a_{\tau(i,j),\tau(i',j')}=\alpha (X^{i+i'}Y^{j+j'})$ với mọi $(i, j, i', j')$; sau đó tiến hành quy nạp theo $k.$)

(e) Không tồn tại độ đo dương $\nu$ trên $\mathbf{R}^2$ sao cho $(x, y)\mapsto x^ny^m$ là $\mu$-khả tích với mọi $(n, m)\in \mathbf{N}^2$, và sao cho

với mọi $(n, m)\in \mathbf{N}^2$. (f) Tồn tại một không gian Hilbert E và một toán tử từng phần $u$ với miền xác định trù mật trên E thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) Có $\operatorname{dom}(u)$$\subset$ $\operatorname{dom}(u^*)$;

(ii) Có $\|u(x)\|=\|u^*(x)\|$ với mọi $x\in$ dom($u$);

(iii) Không tồn tại không gian Hilbert F nào chứa E như một không gian con, sao cho đơn ánh chính tắc từ E vào F là đẳng cự, và không tồn tại toán tử từng phần chuẩn tắc $v$ trên F sao cho $u\subset v$.

So sánh kết quả này với bài tập 24 của IV, p. 352.