Exercice 28, § 5

Pour tout entier $k\geqslant 0$, on note $b_k$ le nombre de relations d’équivalence sur l’ensemble $\{1, . . . , k\}$.

Pour tout $\lambda >0$, on note $\varpi_{\lambda}$ la mesure de Poisson de paramètre $\lambda$ sur $\mathbf{R}($cf. exercice 41 de II, p. 282), c’est-à-dire la mesure de masse totale 1 supportée sur $\mathbf{N}$ telle que $\varpi_{\lambda}(j) =e^{-\lambda}\lambda^j/j$! pour tout $j\in \mathbf{N}$.

a) La relation

$j=0$

est valide pour tout entier $k\in \mathbf{N}$.

b) Pour toute fonction $f:\mathbf{N}\rightarrow \mathbf{C}$ telle que la fonction $x\mapsto xf(x)$ est $\varpi$-intégrable, on a

(« formule de Chen »).

De plus, si $\mu$ est une mesure bornée sur $\mathbf{R}$ vérifiant cette propriété, alors il existe $c\in \mathbf{R}$ tel que $\mu=c\varpi_{\lambda}$.

c) Pour tout $k\in \mathbf{N}$, la fonction $x\mapsto x^k$ est $\varpi_1$-intégrable et on a

De plus, la mesure $\varpi_1$ est l’unique mesure positive sur $\mathbf{R}$ satisfaisant à ces équations.

d) Pour tout entier $k\geqslant 0$, on a

$b_k=\frac{1}{e}\sum_{j\geqslant 0}jj^n$!

(« formule de Dobiński ») et

$b_k=2e\pi k$! $\mathscr{I}(\int_0^{\pi}e^{e^{eit}}$ sin($kt$)$dt)$

(« formule de Cesàro »).

e) Pour tout entier $n\geqslant 1$, on note $\mu_n$ la mesure positive sur $\mathbf{R}$ image de la mesure de Haar normalisée du groupe symétrique $S_n$ par l’application $f_n$ de $S_n$ dans $\mathbf{R}$ qui à $\sigma \in S_n$ associe le nombre de points fixes de $\sigma$. Soit $k\in \mathbf{N}$. Pour tout entier $n\geqslant k$, on a

f) La suite $(\mu_n)$ converge étroitement quand $n\rightarrow +\infty$ vers la mesure de Poisson $\varpi_1$.