Bài tập 28, § 5

Với mọi số nguyên $k\geqslant 0$, ký hiệu $b_k$ là số các quan hệ tương đương trên tập hợp $\{1, . . . , k\}$.

Với mọi $\lambda >0$, ký hiệu $\varpi_{\lambda}$ là độ đo Poisson tham số $\lambda$ trên $\mathbf{R}($xem bài tập 41 của II, p. 282), nghĩa là độ đo có tổng khối lượng bằng 1 và có giá trên $\mathbf{N}$ sao cho $\varpi_{\lambda}(j) =e^{-\lambda}\lambda^j/j$! với mọi $j\in \mathbf{N}$.

a) Quan hệ

$j=0$

đúng với mọi số nguyên $k\in \mathbf{N}$.

b) Với mọi hàm $f:\mathbf{N}\rightarrow \mathbf{C}$ sao cho hàm $x\mapsto xf(x)$ là $\varpi$-khả tích, ta có

("công thức Chen").

Hơn nữa, nếu $\mu$ là một độ đo bị chặn trên $\mathbf{R}$ thỏa mãn tính chất này, thì tồn tại $c\in \mathbf{R}$ sao cho $\mu=c\varpi_{\lambda}$.

c) Với mọi $k\in \mathbf{N}$, hàm $x\mapsto x^k$ là $\varpi_1$-khả tích và ta có

Hơn nữa, độ đo $\varpi_1$ là độ đo dương duy nhất trên $\mathbf{R}$ thỏa mãn các đẳng thức này.

d) Với mọi số nguyên $k\geqslant 0$, ta có

$b_k=\frac{1}{e}\sum_{j\geqslant 0}jj^n$!

("công thức Dobiński") và

$b_k=2e\pi k$! $\mathscr{I}(\int_0^{\pi}e^{e^{eit}}$ sin($kt$)$dt)$

("công thức Cesàro").

e) Với mọi số nguyên $n\geqslant 1$, ký hiệu $\mu_n$ là độ đo dương trên $\mathbf{R}$ là ảnh của độ đo Haar chuẩn hóa của nhóm đối xứng $S_n$ dưới ánh xạ $f_n$ từ $S_n$ vào $\mathbf{R}$, ánh xạ này gán cho mỗi $\sigma \in S_n$ số điểm bất động của $\sigma$. Cho $k\in \mathbf{N}$. Với mọi số nguyên $n\geqslant k$, ta có

f) Dãy $(\mu_n)$ hội tụ hẹp khi $n\rightarrow +\infty$ về độ đo Poisson $\varpi_1$.