Exercice 3, § 5

Soit E un espace hilbertien de type dénombrable. Les seuls idéaux bilatères fermés de $\mathscr{L}(E)$ sont $\{0\},\mathscr{L}^c(E)$ et $\mathscr{L}(E)$. (Utiliser l’exerc. IV, p. 316, exerc. 10 ; si I est un tel idéal, supposer qu’il existe dans I un élément auto-adjoint non nul $u$ qui n’est pas compact, et montrer que pour tout intervalle ouvert J dans $\mathbf{R}$ tel que $0\notin J$, le projecteur spectral de $u$ sur J appartient à I.)