Exercice 32, § 5

Soit E un espace hilbertien complexe. Soient $u$ et $v$ des opérateurs partiels auto-adjoints sur E tels que $u+v$ est auto-adjoint.

a) Pour $t\in \mathbf{R}^*$, soit $v(t) =t^{-1}(e^{itu}e^{itv}-e^{it(u+v)})\in \mathscr{L}$ (E), et $w(t)$ la restriction de $v(t)$ à l’espace hilbertien $E_{u+v}$. Soit B l’ensemble des applications linéaires continues $w(t)$. L’ensemble B est borné dans l’espace de Banach $\mathscr{L}(E_{u+v},E)$. (Utiliser le théorème de Banach–Steinhaus.)

b) On a $w(t)\rightarrow 0$ quand $t\rightarrow 0$ dans $\mathbf{R}^*$, dans l’espace $\mathscr{L}(E_{u+v},E)$ muni de la topologie de la convergence compacte.

c) Soit $x\in E_{u+v}$. On a

lim$_{n\rightarrow+\infty}(e^{itu/n}e^{itv/n})^nx=e^{it(u+v)}x$. (Pour $n\in \mathbf{N}$, écrire

et appliquer le résultat de la question précédente à l’image compacte de l’application $t\mapsto e^{it(u+v)}x$ de $[-1,1]$ dans $E_{u+v}.)$