Bài tập 32, § 5

Cho E là một không gian Hilbert phức. Cho $u$ và $v$ là các toán tử tự liên hợp từng phần trên E sao cho $u+v$ là tự liên hợp.

a) Với $t\in \mathbf{R}^*$, cho $v(t) =t^{-1}(e^{itu}e^{itv}-e^{it(u+v)})\in \mathscr{L}$ (E), và cho $w(t)$ là hạn chế của $v(t)$ lên không gian Hilbert $E_{u+v}$. Cho B là tập hợp các ánh xạ tuyến tính liên tục $w(t)$. Tập hợp B bị chặn trong không gian Banach $\mathscr{L}(E_{u+v},E)$. (Sử dụng định lý Banach-Steinhaus.)

b) Ta có $w(t)\rightarrow 0$ khi $t\rightarrow 0$ trong $\mathbf{R}^*$, trong không gian $\mathscr{L}(E_{u+v},E)$ được trang bị tôpô của hội tụ compact.

c) Cho $x\in E_{u+v}$. Ta có

lim$_{n\rightarrow+\infty}(e^{itu/n}e^{itv/n})^nx=e^{it(u+v)}x$. (Với $n\in \mathbf{N}$, viết

và áp dụng kết quả của câu hỏi trước cho ảnh compact của ánh xạ $t\mapsto e^{it(u+v)}x$ từ $[-1,1]$ vào $E_{u+v}.)$