Exercice 33, § 5

Soit $n\in \mathbf{N}$. On note Δ le laplacien sur $L^2(\mathbf{R}^n)$.

a) Pour tout $t\in \mathbf{R}^*$, l’endomorphisme $e^{it\Delta}$ de $L^2(\mathbf{R}^n)$ est donné par

si $f\in \mathscr{L}^1(\mathbf{R}^n)\cap \mathscr{L}^2(\mathbf{R}^n)$. (Utiliser la transformation de Fourier.)

b) Soit C l’application unitaire sur $L^2(\mathbf{R}^n)$ déduite par passage au quotient de l’application $f\mapsto C(f)$ définie pour $f\in \mathscr{L}^2(\mathbf{R}^n)$ par

pour $x\in \mathbf{R}^n$.

On a $e^{it\Delta}\rightarrow C$ quand $t\rightarrow +\infty$ dans l’espace $\mathscr{L}(L^2(\mathbf{R}^n))$ muni de la topologie de la convergence simple.

c) Supposons que $1\leqslant n\leqslant 3$. Soit $g\in \mathscr{L}^{\infty}(\mathbf{R}^n) +\mathscr{L}^2(\mathbf{R}^n)$ à valeurs réelles. Notons $u$ l’opérateur partiel $u= \Delta +m_g$; il est auto-adjoint sur $L^2(\mathbf{R}^n)$ (exercice 14). Pour $f\in \mathscr{L}^1(\mathbf{R}^n)\cap \mathscr{L}^2(\mathbf{R}^n)$ et $t\in \mathbf{R}^*$, on a

$e^{itu}f(x) =$ lim$_{k\rightarrow+\infty}\frac{1}{(2it/k)^{kn/2}}\int_{\mathbf{R}^{nk}}f(y_k)$ exp$(\frac{it}{k}\sum_{i=1}^k(\frac{|y_i-y_{i-1}|^2}{4(t/k)^2}-g(y_i))dy$

où on écrit $y= (y_1, . . . , y_k)$ avec $y_i\in \mathbf{R}^n$.

d) Interprétation de la formule précédente.