Bài tập 33, § 5

Cho $n\in \mathbf{N}$. Ta ký hiệu bởi Δ toán tử Laplace trên $L^2(\mathbf{R}^n)$.

a) Với mọi $t\in \mathbf{R}^*$, tự đồng cấu $e^{it\Delta}$ của $L^2(\mathbf{R}^n)$ được cho bởi

nếu $f\in \mathscr{L}^1(\mathbf{R}^n)\cap \mathscr{L}^2(\mathbf{R}^n)$. (Sử dụng biến đổi Fourier.)

b) Gọi C là ánh xạ unita trên $L^2(\mathbf{R}^n)$ suy ra bằng cách chuyển qua thương từ ánh xạ $f\mapsto C(f)$ xác định với $f\in \mathscr{L}^2(\mathbf{R}^n)$ bởi

với $x\in \mathbf{R}^n$.

Ta có $e^{it\Delta}\rightarrow C$ khi $t\rightarrow +\infty$ trong không gian $\mathscr{L}(L^2(\mathbf{R}^n))$ được trang bị tôpô của sự hội tụ đơn giản.

c) Giả sử rằng $1\leqslant n\leqslant 3$. Cho $g\in \mathscr{L}^{\infty}(\mathbf{R}^n) +\mathscr{L}^2(\mathbf{R}^n)$ là thực. Ta ký hiệu bởi $u$ toán tử bộ phận $u= \Delta +m_g$; nó là tự liên hợp trên $L^2(\mathbf{R}^n)$ (bài tập 14). Với $f\in \mathscr{L}^1(\mathbf{R}^n)\cap \mathscr{L}^2(\mathbf{R}^n)$ và $t\in \mathbf{R}^*$, ta có

$e^{itu}f(x) =$ lim$_{k\rightarrow+\infty}\frac{1}{(2it/k)^{kn/2}}\int_{\mathbf{R}^{nk}}f(y_k)$ exp$(\frac{it}{k}\sum_{i=1}^k(\frac{|y_i-y_{i-1}|^2}{4(t/k)^2}-g(y_i))dy$

trong đó ta viết $y= (y_1, . . . , y_k)$ với $y_i\in \mathbf{R}^n$.

d) Diễn giải công thức trên.