Exercice 34, § 5

Soit E un espace hilbertien complexe. Pour tous endomorphismes $u$ et $v$ de E, on note $[u, v] =uv-vu$ et on définit $E_{u,v}=$ Im($u$)$\cap$ Ker($v$).

Soient $p$ et $q$ des orthoprojecteurs de E. On pose $a=p-q$ et $b= 1_E-p-q$. a) S’il existe un endomorphisme unitaire $u$ de E tel que $upu^{-1}$ = $q$ et $uqu^{-1}=p$, alors les dimensions hilbertiennes de $E_{p,q}$ et $E_{1-p,1-q}$ sont égales.

b) On a les relations

c) Jusqu’à la question f ), incluse, on supposera que $E_{p,q}= E_{1-p,1-q}=\{0\}$. L’endomorphisme $b$ est injectif ; soit $s$ la fonction de $\mathbf{R}$ dans $\mathbf{R}$ telle que

1 si $x >0$

$s(x) =$ 0 si $x= 0$

$-1$ si $x <0$.

L’endomorphisme $u=s(b)$ est unitaire.

d) Pour tout $\varepsilon >0$, on a $(|b|+\varepsilon )a=a(|b|+\varepsilon )$.

e) On a $uau^{-1}=-a$ (vérifier que $s(b) =$ lim$_{\varepsilon\rightarrow 0}b(|b|+\varepsilon )^{-1}$) et $ubu^{-1}=b$. f) On a $upu^{-1}=q$ et $uqu^{-1}=p$.

g) On suppose que la dimension hilbertienne de $E_{p,q}$ est égale à celle de $E_{1-p,1-q}$. Alors il existe un endomorphisme unitaire $u$ de E tel que $upu^{-1}=$ $q$ et $uqu^{-1}=p$. (Les espaces $E_{p,q}$ et $E_{1-p,1-q}$ sont orthogonaux ; considérer l’espace hilbertien $F = E_{p,q}\oplus E_{1-p,1-q}$ et appliquer le cas précédent aux orthoprojecteurs de $F^{\circ}$ déduits de $p$ et $q$ par passage aux sous-espaces.)

h) Supposons que $\|p-q\|<1$. Il existe un endomorphisme unitaire $u$ de E tel que $upu^{-1}=q$ et $uqu^{-1}=p$.

i) Supposons que $a=p-q$ est compact. L’endomorphisme $k=qp$ induit par passage aux sous-espaces une application linéaire de Fredholm $\widetilde{k}$ de l’image de $p$ dans l’image de $q$. Il existe un endomorphisme unitaire $u$ de E tel que $upu^{-1}=q$ et $uqu^{-1}=p$ si et seulement si l’indice de $\widetilde{k}$ est nul.