Bài tập 34, § 5

Cho E là một không gian Hilbert phức. Với mọi tự đồng cấu $u$ và $v$ của E, viết $[u, v] =uv-vu$ và định nghĩa $E_{u,v}=$ Im($u$)$\cap$ Ker($v$).

Cho $p$ và $q$ là các phép chiếu trực giao của E. Đặt $a=p-q$ và $b= 1_E-p-q$. a) Nếu tồn tại một tự đồng cấu unita $u$ của E sao cho $upu^{-1}$ = $q$ và $uqu^{-1}=p$, thì các chiều Hilbert của $E_{p,q}$ và $E_{1-p,1-q}$ bằng nhau.

b) Ta có các hệ thức

c) Cho đến hết câu hỏi f), ta sẽ giả sử rằng $E_{p,q}= E_{1-p,1-q}=\{0\}$. Tự đồng cấu $b$ là đơn ánh; gọi $s$ là hàm từ $\mathbf{R}$ vào $\mathbf{R}$ sao cho

1 nếu $x >0$

$s(x) =$ 0 nếu $x= 0$

$-1$ nếu $x <0$.

Tự đồng cấu $u=s(b)$ là unita.

d) Với mọi $\varepsilon >0$, ta có $(|b|+\varepsilon )a=a(|b|+\varepsilon )$.

e) Ta có $uau^{-1}=-a$ (kiểm tra rằng $s(b) =$ lim$_{\varepsilon\rightarrow 0}b(|b|+\varepsilon )^{-1}$) và $ubu^{-1}=b$. f) Ta có $upu^{-1}=q$ và $uqu^{-1}=p$.

g) Giả sử rằng chiều Hilbert của $E_{p,q}$ bằng chiều Hilbert của $E_{1-p,1-q}$. Khi đó tồn tại một tự đồng cấu unita $u$ của E sao cho $upu^{-1}=$ $q$ và $uqu^{-1}=p$. (Các không gian $E_{p,q}$ và $E_{1-p,1-q}$ trực giao; xét không gian Hilbert $F = E_{p,q}\oplus E_{1-p,1-q}$ và áp dụng trường hợp trước cho các phép chiếu trực giao của $F^{\circ}$ suy ra từ $p$ và $q$ bằng cách chuyển qua các không gian con.)

h) Giả sử rằng $\|p-q\|<1$. Tồn tại một tự đồng cấu unita $u$ của E sao cho $upu^{-1}=q$ và $uqu^{-1}=p$.

i) Giả sử rằng $a=p-q$ là compact. Tự đồng cấu $k=qp$ cảm sinh bởi việc chuyển qua các không gian con một ánh xạ tuyến tính Fredholm $\widetilde{k}$ từ ảnh của $p$ vào ảnh của $q$. Tồn tại một tự đồng cấu unita $u$ của E sao cho $upu^{-1}=q$ và $uqu^{-1}=p$ khi và chỉ khi chỉ số của $\widetilde{k}$ bằng không.