Exercice 35, § 5

Soient E un espace hilbertien et $u$ un opérateur partiel auto-adjoint et positif sur E.

a) Pour tout $t\in \mathbf{R}^*_+$, on a $u\circ R(u,-t)\in \mathscr{L}(E)$.

b) L’application $f$ de $\mathbf{R}_+^*$ dans $\mathscr{L}(E)$ définie par $f(t) =-t^{-1/2}u\circ R(u,-t)$ est intégrable par rapport à la mesure de Lebesgue sur $\mathbf{R}^*_+$.

c) On a