Exercice 38, § 5

Soit $u$ un opérateur partiel dans un espace hilbertien complexe E.

a) On suppose que $u$ est un opérateur symétrique positif. Soit $F(u)$ l’extension de Friedrichs de $u$ et soit $q$ la forme partielle positive associée à $F(u)$. Montrer que $F(u)$ est l’unique extension auto-adjointe de $u$ dont le domaine est contenu dans dom($q$).

b) On suppose que $u$ est un opérateur partiel fermé à domaine dense. Soit $q$ la forme partielle positive de domaine dom($u$) définie par $q(x, y) =\langle u(x)|u(y)\rangle$. Démontrer que l’opérateur partiel auto-adjoint représentant $q$ est $v=u^*u$. c) On suppose que $u$ est symétrique et que $u^2$ est à domaine dense. L’opérateur partiel $u^2$ est symétrique et positif ; l’extension de Friedrichs de $u^2$ est égale à $u^*u$.