Bài tập 38, § 5

Cho $u$ là một toán tử bộ phận trong một không gian Hilbert phức E.

a) Giả sử rằng $u$ là một toán tử đối xứng dương. Gọi $F(u)$ là mở rộng Friedrichs của $u$ và gọi $q$ là dạng bộ phận dương liên kết với $F(u)$. Bây giờ chứng minh rằng $F(u)$ là mở rộng tự liên hợp duy nhất của $u$ có miền xác định được chứa trong dom($q$).

b) Giả sử rằng $u$ là một toán tử bộ phận đóng có miền xác định trù mật. Gọi $q$ là dạng bộ phận dương có miền xác định dom($u$) được định nghĩa bởi $q(x, y) =\langle u(x)|u(y)\rangle$. Chứng minh rằng toán tử bộ phận tự liên hợp biểu diễn $q$ là $v=u^*u$.

c) Giả sử rằng $u$ đối xứng và $u^2$ có miền xác định trù mật. Toán tử bộ phận $u^2$ là đối xứng và dương; mở rộng Friedrichs của $u^2$ bằng $u^*u$.