Exercice 39, § 5

Soit $n\geqslant 1$ un entier. On munit $\mathbf{R}^n$ de la mesure de Lebesgue.

Soit $v$ une fonction positive localement de carré intégrable sur $\mathbf{R}^n$. On note Δ le laplacien sur $\mathscr{D}(\mathbf{R}^n)$ ou sur $\mathscr{D}'(\mathbf{R}^n)$, défini par

Soit D l’opérateur partiel sur $L^2(\mathbf{R}^n)$ de domaine $\mathscr{D}(\mathbf{R}^n)$ tel que

a) L’opérateur partiel D est symétrique et positif.

b) Soit $u\in$ dom($D^*$) tel que $D^*u+u= 0$. On a $\Delta (u) +u= 0$ où le laplacien de $u\in L^2(\mathbf{R}^n)$ est calculé au sens des distributions.

c) Les distributions $\Delta (u)$ et $(v+1)u$ sont des fonctions localement intégrables, et la distribution $-\Delta (u)$ est positive. (Utiliser l’exercice 32 de IV, p. 344.) d) On a $u= 0$. (Approcher $|u|$ par des fonctions indéfiniment différentiable $w_{\varepsilon}$ par convolution de sorte que $\Delta (w_{\varepsilon})\geqslant 0$ et appliquer la question précédente.) e) L’opérateur partiel D est essentiellement auto-adjoint.