Bài tập 39, § 5

Cho $n\geqslant 1$ là một số nguyên. Trang bị $\mathbf{R}^n$ với độ đo Lebesgue.

Cho $v$ là một hàm dương khả tích bình phương địa phương trên $\mathbf{R}^n$. Ký hiệu Δ là toán tử Laplace trên $\mathscr{D}(\mathbf{R}^n)$ hoặc trên $\mathscr{D}'(\mathbf{R}^n)$, được định nghĩa bởi

Cho D là toán tử bộ phận trên $L^2(\mathbf{R}^n)$ với miền $\mathscr{D}(\mathbf{R}^n)$ sao cho

a) Toán tử bộ phận D là đối xứng và dương.

b) Cho $u\in$ dom($D^*$) sao cho $D^*u+u= 0$. Khi đó $\Delta (u) +u= 0$, trong đó toán tử Laplace của $u\in L^2(\mathbf{R}^n)$ được tính theo nghĩa của các phân bố.

c) Các phân bố $\Delta (u)$ và $(v+1)u$ là các hàm khả tích địa phương, và phân bố $-\Delta (u)$ là dương. (Dùng bài tập 32 của IV, p. 344.)

d) Ta có $u= 0$. (Xấp xỉ $|u|$ bằng các hàm khả vi vô hạn $w_{\varepsilon}$ bằng phép chập sao cho $\Delta (w_{\varepsilon})\geqslant 0$ và áp dụng câu hỏi trước.)

e) Toán tử bộ phận D là tự liên hợp bản chất.