Exercice 4, § 5

Soit E un espace hilbertien et $u$ un opérateur partiel auto-adjoint sur E. L’application $\sigma :f\mapsto f(u)$ de $\mathscr{L}_u^{\infty}$(Sp($u$)) dans $\mathscr{L}(E)$ est l’unique morphisme d’algèbres involutives vérifiant les trois conditions suivantes :

(i) On a $\|\sigma (f)\|\leqslant \|f\|_{\infty}$ pour tout $f\in \mathscr{L}_u^{\infty}$(Sp($u$));

(ii) Si $(f_n)_{n\in\mathbf{N}}$ est une suite bornée dans $\mathscr{L}_u^{\infty}$(Sp($u$)) et $f_n(t)\rightarrow f(t)$ pour tout $t\in$ Sp($u$), alors $\sigma (f_n)\rightarrow \sigma (f)$ dans $\mathscr{L}(E)$ muni de la topologie de la convergence simple.

(iii) Si $(f_n)_{n\in\mathbf{N}}$ est une suite dans $\mathscr{L}_u^{\infty}$(Sp($u$)) telle que $|f_n(t)|\leqslant |t|$ et $f_n(t)\rightarrow t$ pour tout $t\in$ Sp($u$), alors on a $u(x) =$ lim $\sigma (f_n)(x)$ pour tout $x\in$ dom($u$).