Bài tập 4, § 5

Cho E là một không gian Hilbert và $u$ là một toán tử từng phần tự liên hợp trên E. Ánh xạ $\sigma :f\mapsto f(u)$ từ $\mathscr{L}_u^{\infty}$(Sp($u$)) vào $\mathscr{L}(E)$ là cấu xạ duy nhất của các đại số có phép đối hợp thỏa mãn ba điều kiện sau:

(i) Ta có $\|\sigma (f)\|\leqslant \|f\|_{\infty}$ với mọi $f\in \mathscr{L}_u^{\infty}$(Sp($u$));

(ii) Nếu $(f_n)_{n\in\mathbf{N}}$ là một dãy bị chặn trong $\mathscr{L}_u^{\infty}$(Sp($u$)) và $f_n(t)\rightarrow f(t)$ với mọi $t\in$ Sp($u$), thì $\sigma (f_n)\rightarrow \sigma (f)$ trong $\mathscr{L}(E)$ được trang bị tôpô hội tụ đơn giản.

(iii) Nếu $(f_n)_{n\in\mathbf{N}}$ là một dãy trong $\mathscr{L}_u^{\infty}$(Sp($u$)) sao cho $|f_n(t)|\leqslant |t|$ và $f_n(t)\rightarrow t$ với mọi $t\in$ Sp($u$), thì ta có $u(x) =$ lim $\sigma (f_n)(x)$ với mọi $x\in$ dom($u$).