Exercice 40, § 5

Soit E un espace hilbertien complexe.

a) Soit $u$ un opérateur partiel normal sur E et soit $(j,|u|)$ sa décomposition polaire. On a $|u^*|=|u|$ et la décomposition polaire de $u^*$ est $(j^*,|u|)$. On a $j|u|=|u|j$.

b) Soit $u$ un opérateur partiel auto-adjoint sur E et soit $(j,|u|)$ sa décomposition polaire. On a $j=$ s($u$), où la fonction s est définie par

1 si $x >0$

s($x$) $=$ 0 si $x= 0$

$-1$ si $x <0$.

c) Soit $u$ un opérateur partiel auto-adjoint sur E et soit $(j,|u|)$ sa décomposition polaire. On note D le domaine de $|u|^{1/2}$, et on définit une forme hermitienne partielle $q$ de domaine D en posant

L’opérateur partiel représentant $q$ coïncide avec $u$; si $u$ est positif, alors $q$ est la forme positive partielle associée à $u$.

d) Soient $u$ et $v$ des opérateurs partiels auto-adjoints sur E. Notons $q_u$ et $q_v$ les formes hermitiennes partielles définies comme dans la question c). Supposons que dom($q_u$)$\cap$ dom($q_v$) est dense dans E. La somme de $u$ et $v$ au sens des formes hermitiennes est l’opérateur partiel $u$ + $v$ sur E représentant la forme partielle

de domaine dom($q_u$)$\cap$ dom($q_v$). Montrer que l’opérateur partiel $u$+ $v$ est une extension de $u+v$; si $u$ et $v$ sont positifs, alors $u$+ $v$ est un opérateur partiel auto-adjoint positif.

e) Donner un exemple où le domaine de $u+v$ n’est pas dense, mais $u$ + $v$ est défini.

f ) Soit $n\geqslant 1$ un entier et $S\subset \mathbf{R}^n$ un ensemble fermé de mesure de Lebesgue nulle. Soit $v$ une fonction positive mesurable sur $\mathbf{R}^n$ pour la mesure de Lebesgue telle que $v$ est localement intégrable sur $\mathbf{R}^n-$ S. L’opérateur partiel auto-adjoint Δ + $m_v$ est défini.