Bài tập 40, § 5

Cho E là một không gian Hilbert phức.

a) Cho $u$ là một toán tử bộ phận chuẩn trên E và $(j,|u|)$ là phân tích cực của nó. Ta có $|u^*|=|u|$ và phân tích cực của $u^*$ là $(j^*,|u|)$. Ta có $j|u|=|u|j$.

b) Cho $u$ là một toán tử bộ phận tự liên hợp trên E và $(j,|u|)$ là phân tích cực của nó. Ta có $j=$ s($u$), trong đó hàm s được định nghĩa bởi

1 nếu $x >0$

s($x$) $=$ 0 nếu $x= 0$

$-1$ nếu $x <0$.

c) Cho $u$ là một toán tử bộ phận tự liên hợp trên E và $(j,|u|)$ là phân tích cực của nó. Gọi D là miền xác định của $|u|^{1/2}$, và định nghĩa một dạng Hermit bộ phận $q$ với miền xác định D bằng cách đặt

Toán tử bộ phận biểu diễn $q$ trùng với $u$; nếu $u$ là dương, thì $q$ là dạng bộ phận dương liên kết với $u$.

d) Cho $u$ và $v$ là các toán tử bộ phận tự liên hợp trên E. Gọi $q_u$ và $q_v$ là các dạng Hermit bộ phận được định nghĩa như trong câu c). Giả sử rằng dom($q_u$)$\cap$ dom($q_v$) là trù mật trong E. Tổng của $u$ và $v$ theo nghĩa các dạng Hermit là toán tử bộ phận $u$ + $v$ trên E biểu diễn dạng bộ phận

với miền xác định dom($q_u$)$\cap$ dom($q_v$). Bây giờ chứng minh rằng toán tử bộ phận $u$+ $v$ là một mở rộng của $u+v$; nếu $u$ và $v$ là dương, thì $u$+ $v$ là một toán tử bộ phận tự liên hợp dương.

e) Cho một ví dụ trong đó miền xác định của $u+v$ không trù mật, nhưng $u$ + $v$ được định nghĩa.

f ) Cho $n\geqslant 1$ là một số nguyên và $S\subset \mathbf{R}^n$ là một tập hợp đóng có độ đo Lebesgue bằng không. Cho $v$ là một hàm đo được dương trên $\mathbf{R}^n$ đối với độ đo Lebesgue sao cho $v$ là khả tích địa phương trên $\mathbf{R}^n-$ S. Toán tử bộ phận tự liên hợp Δ + $m_v$ được định nghĩa.