Exercice 41, § 5

Soit $n\geqslant 1$ un entier. On note Δ le laplacien sur $\mathbf{R}^n$, et on note $u$ la réduction de Δ au sous-espace $\mathscr{D}(\mathbf{R}^n-\{0\})$.

a) Le domaine de $u$ est dense dans l’espace hilbertien $E_q$ associé à la forme partielle $q$ associée à Δ si et seulement $n\geqslant 2$. (Identifier le dual de $E_q$ à un espace de distributions tempérées ; si $g\in E'_q$ est nul sur dom($u$), montrer que $g$ est une distribution de support contenu dans $\{0\}$; conclure en utilisant l’exercice 24 de IV, p. 338.)

b) Le domaine de $u$ est dense dans l’espace hilbertien $E_{\Delta}$ si et seulement si $n\geqslant 4$.