Bài tập 41, § 5

Cho $n\geqslant 1$ là một số nguyên. Ký hiệu Δ là toán tử Laplace trên $\mathbf{R}^n$, và ký hiệu $u$ là hạn chế của Δ lên không gian con $\mathscr{D}(\mathbf{R}^n-\{0\})$.

(a) Miền xác định của $u$ là trù mật trong không gian Hilbert $E_q$ liên kết với dạng bộ phận $q$ liên kết với Δ khi và chỉ khi $n\geqslant 2$. (Đồng nhất đối ngẫu của $E_q$ với một không gian các phân phối suy rộng; nếu $g\in E'_q$ bằng không trên dom($u$), bây giờ chứng minh rằng $g$ là một phân phối suy rộng có giá được chứa trong $\{0\}$; kết luận bằng cách sử dụng bài tập 24 của IV, p. 338.)

(b) Miền xác định của $u$ là trù mật trong không gian Hilbert $E_{\Delta}$ khi và chỉ khi $n\geqslant 4$.